Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Mekanika Kuantum Matriks

Pada akhir bulan Mei 1925, di Gottingen, seorang fisikawan teori Jerman yang dijuluki si anak ajaib mengalami sakit parah. Pemuda bernama Werner Karl Heisenberg itu menderita demam parah hingga wajahnya membengkak karena alergi serbuk sari. Demi mempercepat proses pemulihannya, ia mengambil jatah libur selama dua minggu untuk mengungsikan dirinya sementara ke pulau kecil Helgoland yang tak jauh dari pantai utara Jerman. Ia berharap, kondisi udara yang bersih di pantai Baltik tersebut dapat membantu mempercepat proses pemulihannya.

source: physics world

Setelah berada di daerah dengan udara bersih, tidak butuh waktu lama bagi Heisenberg untuk memulihkan dirinya. Apa yang terjadi dalam beberapa hari selanjutnya di pulau kecil itu menyisakan romantisme dari sebuah misteri tentang bagaimana pemuda brilian itu mendapatkan ilham untuk merumuskan teori kuantum modern. Di sinilah awal mula dimana makalah berpengaruh berjudul “Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations” mengakhiri era teori kuantum lama dan membuka gerbang teori kuantum modern.

Selama mengasingkan diri di pulau Heligoland Heisenberg bekerja untuk menginterpretasikan ulang teori kuantum dari hubungan kinematika dan mekanika pada intensitas garis-garis spektrum atom hidrogen. Heisenberg menghasilkan teori yang sama sekali baru; teori yang menafsirkan ulang posisi partikel disertai dengan aturan perkalian yang baru; teori yang memunculkan persamaan gerak dan kondisi kuantum yang baru, yang solusinya menentukan kuantitas nilai dari parameter atom yang dapat diamati, seperti; energi, frekuensi dan amplitudo transisi.

Teori kuantum Heisenberg ini merupakan teori kuantum yang hanya mengandalkan parameter fisik yang dapat diamati dari peristiwa atom. Artinya, teorinya dibangun berdasarkan kuantitas-kuantitas yang teramati ketika sistem atom berinteraksi dengan sesuatu dari luar sistem atom itu sendiri. Ketika berinteraksi dengan sesuatu dari luar sistem dan memenuhi syarat-syarat tertentu yang dapat membuat keadaan atom tereksitasi, maka elektron akan mengalami lompatan kuantum.

Lompatan kuantum akan teramati sebagai garis-garis spektrum gelombang elektromagnetik atau cahaya. Jadi, lompatan kuantum adalah parameter yang dijadikan landasan oleh Heisenberg untuk merumuskan teori kuantumnya karena dapat teramati oleh pengamat selama eksperimen. Selain dari pada itu parameter-parameter lain yang diusulkan dalam teori klasik seperti lintasan dan orbit elektron diabaikan, karena tidak ada eksperimen yang dapat menunjukkan bagaimana elektron berperilaku dalam atom.

Setelah berhasil dengan perhitungannya yang hanya mengandalkan parameter fisik yang dapat diamati, Heisenberg menuju Hamburg untuk memperlihatkan hasil perhitungannya kepada sahabatnya Wolfgang Pauli. Pauli berkomentar bahwa perhitungnya menarik, namun semuanya masih samar-samar dan masih belum jelas baginya. Selepas dari Hamburg, Heisenberg bergegas menuju Gottingen untuk menyerahkan perhitungannya kepada mentornya; Max Born agar diperiksa. Dengan permintaan, jika Born menyukainya, Born dapat mengirimkan paper itu untuk dipublikasikan.

Selama Born memeriksa perhitungannya, Heisenberg menjalani serangkaian kesibukan; ia kembali ke Kopenhagen – Denmark, untuk menyelesaikan hibah penelitian bersama Niels Bohr di institute Bohr, lalu memberi kuliah tentang spektroskopi di universitas Cambridge Inggris.

Ketika memeriksa karya Heisenberg, awalnya Born dibuat bingung dan penasaran dengan aturan perkalian dari dua amplitudo pada makalah tersebut. Meskipun demikian, Born terpesona dan menilai bahwa paper itu baik sehingga ia meneruskannya ke editor jurnal untuk dipublikasikan. Beberapa hari setelah ia mengirimkan paper Heisenberg untuk dipublikasikan, barulah Born menyadari bahwa aturan perkalian tersebut analog dengan perkalian dua buah matriks.

Matriks adalah susunan bilangan yang disusun dalam kolom dan baris. Sama halnya dengan bilangan biasa, sebuah matriks dan matriks lainnya dapat dijumlahkan atau dikurangi dan dikalikan ataupun dibagi, namun dengan aturan aritmatika matriks yang berbeda dengan operasi bilangan biasa.

Born kemudian berinisiatif untuk menyusun kembali perhitungan Heisenberg ke dalam bahasa matriks. Ia lalu mengajak mantan muridnya yang sekarang menjadi asistennya bernama Pascual Jordan untuk bekerja sama. Keduanya bahu membahu menerjemahkan ulang pekerjaan Heisenberg ke dalam bentuk matriks. Hasil pekerjaan ini mereka publikasikan dalam bentuk makalah yang berjudul On Quantum Mechanics pada 17 September 1925 tepat dua bulan setelah paper Heisenberg dipublikasikan.

Dalam makalah ini Born dan Jordan menjelaskan teknik atau metode memanipulasi matriks dan mengadaptasikannya ke fisika kuantum. Born sedikit menyederhanakan penulisan notasi seperti notasi transisi yang oleh Heisenberg ditulis (n,n-α) disederhanakan oleh Born menjadi (n,m). Dimana n adalah bilangan kuantum yang menunjukkan keadaan stabil awal dan m adalah keadaan stabil akhir setelah atom mengalami transisi atau melakukan lompatan kuantum.

Dalam versi asli Heisenberg, ia menggunakan notasi n-α untuk mendefinisikan keadaan akhir atom setelah transisi (lompatan kuantum). Notasi ini lebih mudah ketika dikombinasikan dalam perhitungan Heisenberg karena mencegah penulisan deret yang panjang, dan lebih memudahkan untuk menemukan pola (rumus) umumnya. Sebaliknya, setelah diterjemahkan oleh Born dan Jordan ke bentuk matriks, maka penggunaan notasi n-α diganti dengan notasi m. Tujuannya juga sama demi penyederhanaan, karena dalam bentuk perkalian matriks menggunakan notasi transisi (n,m) lebih sederhana dibandingkan menggunakan notasi (n,n-α).

Born dan Jordan menemukan bahwa semua elemen dalam matriks produk harus bernilai nol, kecuali elemen di sepanjang diagonal matriks produk - matriks produk adalah matriks baru yang diperoleh dari perkalian dua matriks sebelumnya. Elemen dalam diagonal matriks inilah yang memuat nilai energi atom dalam keadaan stasioner. Ini, bersama dengan prinsip konservasi energi menjadi dasar yang kuat bagi Born dan Jordan untuk yakin bahwa teori tersebut nantinya dapat mencakup hukum fisika yang benar-benar mendalam.

Mereka juga menyelesaikan kebingungan yang dialami Heisenberg sebelumnya tentang hasil perkalian tak komutatif dimana p x q tidak sama dengan q x p. Dalam mekanika klasik, posisi partikel yang diwakili dengan q beserta momentumnya yang diwakili dengan p, dapat ditentukan dengan jelas sebagai fungsi waktu melalui persamaan gerak Newton. Artinya, partikel didefinisikan bergerak sepanjang lintasan yang dijelaskan oleh fungsi posisi terhadap waktu dan fungsi momentum terhadap waktu. Dengan demikian, lintasan dan keadaan gerak partikel dijelaskan secara lengkap oleh koordinat posisi q dan momentum p dalam mekanika klasik.

Variabel p dan q dalam mekanika klasik seperti yang disebutkan di atas adalah variabel biasa. Oleh karena itu kedua variable q dan p dapat dikalikan secara bolak balik tanpa mempedulikan urutan – jadi q x p = p x q. Sebagai contoh, jika p nilainya adalah 3 dan q nilainya adalah 5, maka 3 x 5 hasilnya akan sama dengan 5 x 3. Hal ini dikarenakan p dan q mewakili hanya satu nilai yang tunggal. Hal ini tidak berlaku dalam perkalian matriks.

Dalam mekanika matriks, gagasan klasik tentang posisi q dan momentum p harus didefinisikan ulang sebagai posisi kuantum q dan momentum kuantum p. Posisi kuantum dan momentum kuantum masing-masing mendeskripsikan intensitas dan frekuensi dari radiasi atom yang dipancarkan atau yang diserap. Oleh sebab intensitas dan frekuensi yang diperoleh adalah kuantitas yang teramati atau terukur ketika atom mengalami transisi, maka nilai intensitas dan frekuensi adalah deretan dari suku-suku bilangan yang didefinisikan ke dalam matriks.

Selanjutnya, karena posisi kuantum q dan momentum kuantum p masing-masing adalah sebuah matriks, maka perkalian antar dua matriks tersebut memerlukan aturan tertentu agar setiap elemen dalam setiap matriks ‘terkombinasi’ untuk menghasilkan matriks baru. Aturan kombinasi ini adalah mengalikan tiap baris terhadap kolom, lalu menjumlahkannya pada baris yang sama. Ini mengakibatkan hasil perkalian antara matriks q terhadap p tidak sama dengan hasil perkalian antara matriks p terhadap q (qp ≠ pq) karena urutan baris kali kolomnya akan berbeda jika dibolak-balik. Sifat ini disebut sifat tak komutatif.

Namun, hal yang menarik yang ditemukan Born dan Jordan adalah bahwa selisih dari hasil perkalian antara kedua matriks tersebut dengan dua urutan perkalian yang berbeda (qp - pq) hanyalah sebesar ih/2π, tidak lebih ataupun kurang dari nilai itu. Notasi i adalah bilangan kompleks yang nilainya adalah akar kuadrat dari minus 1, sedangkan h adalah konstanta Planck.

Ketika paper Born dan Jordan dipublikasikan dan dibaca oleh Heisenberg, barulah Heisenberg menyadari bahwa ternyata jenis perkalian amplitudo yang dia kerjakan sebelumnya yang dia anggap aneh, ternyata memiliki bentuk matematikanya yang formal yang disebut perkalian matriks. Pada saat itu fisikawan belum akrab dengan aljabar linear terutama matriks. Matriks sendiri masih menjadi ranah murni matematika yang bahkan belum begitu umum juga di kalangan matematikawan itu sendiri.

Jadi, alasan mengapa formalisme mekanika kuantum Heisenberg tidak dirumuskan sekali jalan adalah karena dia belum mengetahui bentuk matematika formal untuk menyelesaikan perhitungan yang dia hadapi pada papernya yang pertama.

Untuk Born sendiri, ia pernah bergelut dengan matriks selama ia masih menjadi mahasiswa Rosanes di universitas Breslau. Ia juga pernah menulis paper yang berhubungan dengan matriks. Hanya saja, dalam paper terdahulunya itu ia tidak sampai melibatkan perkalian matriks, makanya saat pertama kali melihat bentuk perkalian dan deretan kombinasi amplitudo pada makalah Heisenberg ia tidak langsung menyadarinya. Jadi, apa yang kurang dari pekerjaan Heisenberg adalah belum menggunakan alat matematika yang tepat dan yang masih asing saat itu bernama matriks.

Menyadari kekurangannya, Heisenberg mulai mencari referensi dan mulai mempelajari matriks untuk mengejar ketinggalan. Segera sesudah itu, ia kembali ke Gottingen dan berkolaborasi dengan Born and Jordan. Bersama-sama mereka bertiga menerbitkan makalah lanjutan tentang mekanika kuantum baru pada November 1925 - sebuah makalah baru yang bertujuan untuk menyempurnakan makalah sebelumnya. Makalah ini kemudian dikenal sebagai the three-men paper dengan judul On Quantum Mechanics II.

Makalah ini secara resmi menandai akhir dari era teori kuantum lama dan awal dari era teori kuantum baru atau teori kuantum modern. Mekanika kuantum yang dirumuskan dalam makalah dari ketiga orang ini diberi nama oleh Born sebagai Mekanika Matriks – nama yang dibenci oleh Heisenberg karena terkesan terlalu matematis.

Sampai di sini fondasi mekanika kuantum yang sejati telah dirumuskan, tetapi dengan tingkat abstraksi matematis yang baru dan belum pernah terjadi sebelumnya. Faktor keabstrakannya yang diakibatkan oleh bentuknya yang matematis membuat mekanika matriks tidak cocok dengan selera semua orang. Inilah alasan mengapa beberapa bulan kemudian setelah persamaan Schrodinger diperkenalkan fisikawan lebih menerimanya dibandingkan mekanika matriks.

Dalam mekanika matriks hampir setiap variabel dan fungsi mekanika klasik ditafsirkan ulang sebagai matriks kuantum yang sesuai dan tunduk pada aturan kuantum. Perumusannya murni hanya didasarkan pada parameter atau kuantitas fisik yang dapat diamati. Ini dapat diungkapkan secara gamblang bahwa perumusannya hanya mengandalkan data-data yang murni dari hasil pengamatan. Ditambah lagi dengan matriks yang dianggap hanya sebagai alat matematik untuk mengkaji data kolektif, maka mekanika matriks mengokohkan kodratnya sebagai mekanika kuantum yang sangat abstrak.

Oleh karena formulasinya yang sangat matematis, maka tampak bahwa mekanika matriks tidak memberikan deskripsi fisik sama sekali tentang bagaimana partikel berperilaku. Dalam teori kuantum lama, partikel diasumsikan memiliki orbit sehingga dibayangkan bergerak mengorbit inti atom. Dalam mekanika matriks, asumsi ini dibuang karena peristiwa tersebut tidak dapat diamati secara langsung. Dengan kata lain, mekanika matriks meminta kita untuk berhenti memusingkan apa yang tidak bisa diamati, dan mulai menghitung apa yang dapat diamati – apa yang dilihat oleh pengamat itulah yang diperoleh pengamat.

Terlepas dari keabstrakan mekanika matriks, Born, Heisenberg dan Jordan dengan bangga mengumumkan bahwa mekanika kuantum baru milik mereka berhasil mencapai tujuan yang telah lama dicari. Mekanika ini berisi postulat dasar fisika kuantum pada atom tentang keberadaan keadaan energi stasioner yang berbeda dalam atom. Mekanika ini juga memperkenalkan lompatan kuantum yang disertai dengan emisi atau penyerapan energi, dan memungkinkan perhitungan dari sistem apa pun yang menampilkan gerakan periodik (seperti atom). Sifat atom yang sebelumnya membingungkan sekarang dapat diturunkan dari mekanika kuantum baru.

Di masa sekarang, era dimana matematika matriks sudah dikenal umum, mekanika kuantum matriks masih menjadi barang langka dalam kurikulum fisika hingga di tingkat sarjana. Ketika membicarakan mekanika kuantum, maka mahasiswa sarjana umumnya hanya mengetahui atau mempelajari persamaan Schrodinger (mekanika gelombang) dan tidak memiliki ide sama sekali tentang mekanika kuantum matriks Heisenberg.

Hal ini bukan saja karena keabstrakkan dari mekanika matriks yang disebabkan oleh bentuk formulanya yang matematis, tetapi juga karena dalam langkah perumusannya sangat minim petunjuk tentang motivasi apa yang membuat Heisenberg sampai pada kesimpulan-kesimpulannya. Jika kita berusaha memahami tiap langkah Heisenberg secara fisis, maka di beberapa titik kita tidak akan memahami kenapa perumusannya bisa sampai pada kesimpulan ini atau kesimpulan itu.

Dengan kejeniusannya Heisenberg mendefinisikan ulang pola rumusan klasik tanpa diturunkan dari sebuah aksioma. Seperti apa yang dikatakan Steven Weinberg - yang catatannya tentang Heisenberg saya kutip dalam artikel sebelumnya - bahwa dalam hal ini Heisenberg bertindak layaknya fisikawan penyihir dan karyanya adalah sihir murni. Ia seolah-olah melompati semua aturan yang ada di tengah-tengah untuk sampai pada kesimpulan akhir yang luar biasa dan akurat.

Daftar Pustaka:

BL van der Waerden. 1968. Sources of Quantum Mechanics. Dover Publications, ISBN 0-486-61881-1.

Cassidy David. 2009. Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and the Bomb. New York: Bellevue Literary Press.

Fedak William et al. 2008. The 1925 Born and Jordan Paper “On quantum mechanics”, DOI: 10.1119/1.3009634.

Jim Baggott. 1992. The Meaning of Quantum Theory. UK: Oxford University Press.

Ricky Hamanay
Ricky Hamanay Yuditya Hamdani Hamanay; penulis sains amatir. Blogger sejak 2013